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Gregory J. Chaitin
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The Limits of Mathematics: A course on information theory and the limits of formal reasoning (Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science) Hardcover – January 1, 1997

by Gregory J. Chaitin (Author)
4.2 4.2 out of 5 stars 6 ratings
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Book by Chaitin, Gregory J.
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  1. Print length
    148 pages
  2. Language
    English
  3. Publisher
    Springer-Verlag
  4. Publication date
    January 1, 1997
  5. Dimensions
    9.58 x 6.47 x 0.58 inches
  6. ISBN-10
    981308359X
  7. ISBN-13
    978-9813083592
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Product details

  • Publisher ‏ : ‎ Springer-Verlag; First Edition (January 1, 1997)
  • Language ‏ : ‎ English
  • Hardcover ‏ : ‎ 148 pages
  • ISBN-10 ‏ : ‎ 981308359X
  • ISBN-13 ‏ : ‎ 978-9813083592
  • Item Weight ‏ : ‎ 1 pounds
  • Dimensions ‏ : ‎ 9.58 x 6.47 x 0.58 inches
  • Customer Reviews:
    4.2 4.2 out of 5 stars 6 ratings

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Top reviews from the United States

Cellier Cedric
1.0 out of 5 stars Rather a collection of introductory speeches than a course
Reviewed in the United States on February 10, 2011
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The book is composed of a small set of speeches given at various occasions to maths students.
Each speech share the same topic and is build almost according to the same plan, and merely
introduces the research area of G. Chaitin from a very high standpoint, without giving any details.

So this can hardly be considered as a course.

The book is very frustrating because at several places the author jump over many expected details because he says he lacks time, yet in the following speech he again skip over details because he still lacks time. One would rather have an actual course that's diging from chapter to chapter into the core of the matter, instead of having to repeatedly read an introduction.
22 people found this helpful
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RF
5.0 out of 5 stars Greg Chaitin is brilliant.
Reviewed in the United States on September 16, 2021
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I'm reading up on information theory for a class I'm co-teaching. Chaitin's approach of connecting it to computability is a wonderful alternate way of approaching the subject.
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Dr. T.
5.0 out of 5 stars Spielt Gott Würfel mit der Mathematik?
Reviewed in Germany on July 27, 2016
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Das vorliegende Bändchen enthält drei Vorlesungen von Gregory J. Chaitin zu den Grenzen der Mathematik, die sich aus der algorithmischen Informationstheorie ergeben, zu der der Autor, aufbauend auf Ideen von Ray Solomonoff und Andrei Kolmogorov, wesentliche Beiträge geleistet hat. Die erste Arbeit “Randomness in Arithmetics...“ basiert auf einem Kolloquiumvortrag, in dem Chaitin seine grundlegenden theoretischen Ideen allgemein verständlich entwickelt. In den beiden folgenden Kursen zeigt der Autor, wie man LISP einsetzt, um die Algorithmen seiner Theorie zu modellieren.

David Hilbert entwickelte rund um 1900 sein Programm zur Formalisierung der gesamten Mathematik, damit sollten, die sich rasant entwickelten neuen Zweige der Mathematik, auf soliden Grund gestellt werden, der garantiert, dass die Theorien frei von Widersprüchen und vollständig sind. Nach vielversprechenden Entwicklungen von Zermelo, Faenkel, Russel, Withehead, v. Neumann u.a., erschütterten Kurt Gödel 1931 und Alan Turing 1936 dieses Weltbild mit der Entdeckung ihrer Unvollständigkeits- und Nicht- Berechenbarkeits- Resultate. Turings negative Antwort auf die Frage, ob man algorithmisch entscheiden kann, ob eine gegebenes Programm terminiert oder endlos weiterläuft, dem Halteproblem, ist Chaitins Ausgangspunkt zur Konstruktion der Haltewahrscheinlichkeit Omega, einer wohldefinierte reellen Zahl, die zugleich der Inbegriff der Unberechenbarkeit ist – nicht nur, dass ihre Bits ab einer gewissen Stelle alle unberechenbar sind, Omega ist auch eine algorithmische Zufallszahl, d.h. algorithmisch irreduzibel, in den Anfangsbitfolgen von Omega sind schließlich die Antworten auf alle möglich mathematischen Probleme kodiert.

Der Autor spricht metaphorische davon, dass die 0en und 1en von Omega für die Mathematik wie eine steinerne Mauer sind, hier erlahmt jegliche weitere Argumentation. Die Quantenphysik gab Anlass, entgegen Einsteins Überzeugung, festzustellen, dass Gott doch Würfeln mit dem Universum spielt, so scheinen die hier skizzierten Ergebnisse anzudeuten, dass ER dass auch – in gewissen Bereichen – mit der Mathematik tut.

Im zweiten Paper zeigt Chaitin, dass es möglich ist, Unvollständigkeits- Resultate auch ohne rekursive Funktionen, Turing Maschinen oder Fixpunkt Sätze ableitbar sind, einfach in Rahmen der real existierenden Programmiersprache LISP, und dass die so entwickelten Algorithmen auf heutigen Computern ausgeführt werden können. Dazu betrachtet der Autor den harmlos aussehenden Begriff des Eleganten LISP Programms, d.h. eines Programms, zu dem es kein kürzeres Programm gibt, dass den gleichen Output erzeugt; trivialer Weise gibt es zu jedem LISP Programm mindestens ein zugehöriges elegantes LISP Programm. Chaitin zeigt aber – zunächst hand waving –, dass man algorithmisch nicht entscheiden kann, ob ein gegebenes Programm mit einer bestimmten Mindestlänge elegant ist oder nicht. Schließlich zeigt der Autor, dass man diesen Plan tatsächlich auch als LISP Programm realisieren kann, dazu er das Standard LISP geringfügig um eine eval- Funktionsvariante erweitern, die die Angabe eines runtime- Limits erlaubt, und die der Autor 'try' nannte. In der Tat ist das Resultat über Elegante List Programme eine Variante von Chaitins Unvollständigkeitssatz, aus dem Gödels erster Unvollständigkeitssatz als Korollar folgt.

Im dritte Beitrag 'An invitation to algorithmic information theory' wird Omega in Termen von LISP Algorithmen untersucht und diskutiert, insbesondere wird ein Beweis, dass Omega der algorithmischen Irreduzibel ist, gegeben.

Der vierte Teil stellt den Source Code verschiedener LISP Programme zusammen, über die der Autor bei seinen Erörterungen immer wieder gesprochen hat. Der Anhang enthält den Mathematica Code des Interpreters der LISP Variante des Autors.

Das Buch präsentiert eine exzellente kurze Einführung in dieses interessante Thema aus erster Hand, dem Autor gelingt es, die Kernideen allgemein verständlich zu skizzieren; schon auf Grund der Kürze des Textes, bleiben Details natürlich ausgelassen. Der interessierte Leser findet etwa in dem einführenden Buch 'Grenzen der Mathematik' von Dirk Hoffmann auch ein Kapitel über Chaitins Theorie mit formalen Definitionen und Beweisen. Ein schönes Interview des Autor mit dem argentinischen Mathematiker und Schriftsteller Guillermo Martinez über das vorliegende Buch findet sich in dessen Essayband “Borges and Mathematics“. Die im Buch angegeben Links zu den Programm- Sourcen sind veraltet, eine naheliegende Internet Suche fördert aber einen Github Server mit den genannten Quellcodes zu Tage.
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Giovanni M. Mazza
5.0 out of 5 stars A Text to do mathematics as mathematician.
Reviewed in Italy on November 22, 2014
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Text very valid about mathematics and expositive form, very useful the examples of using of LISP.
Testo molto valido per i contenuti e la forma espositiva, molto utili gli esempi dell'uso di LISP.
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